Dodatek: Obwody RC i RL, stałe czasowe

Obwód RC

Na Rys. 1 pokazany jest obwód złożony z opornika \( R \), pojemności \( C \) i idealnego (bez oporu wewnętrznego) źródła napięcia (SEM) \( \varepsilon \).

Obwód {OPENAGHMATHJAX()}RC{OPENAGHMATHJAX}

Rysunek 1: Obwód \( RC \)

Celem naładowania kondensatora zamykamy wyłącznik do pozycji (a). Prąd jaki popłynie w obwodzie \( RC \) obliczamy, korzystając z prawa Kirchoffa, zgodnie z którym

(1)

\( {\varepsilon =U_{{R}}+U_{{C}}} \)

lub

(2)

\( {\varepsilon =IR+\frac{Q}{C}} \)

Ponieważ \( I = dQ/dt \) więc

(3)

\( {\varepsilon =\frac{\mathit{dQ}}{\mathit{dt}}R+\frac{Q}{C}} \)

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja \( Q(t) \) postaci

(4)

\( {Q=\mathit{C\varepsilon }(1-e^{{-t/RC}})} \)

Natomiast prąd w obwodzie obliczamy z zależności \( I = dQ/dt \)

(5)

\( {I=\frac{\mathit{dQ}}{\mathit{dt}}=\frac{\varepsilon}{R}e^{{-t/RC}}} \)

Obie zależności zostały pokazane na Rys. 2 oraz Rys. 3.

Rysunek 2: Ładowanie kondensatora: ładunek na kondensatorze

Rysunek 3: Ładowanie kondensatora: prąd w obwodzie

Z przedstawionych wykresów widać, że ładunek na kondensatorze narasta, a prąd maleje eksponencjalnie z czasem. Szybkość tych zmian zależy od wielkość \( \tau = RC \), która ma wymiar czasu i jest nazywana stałą czasową obwodu.

Jeżeli teraz w obwodzie przełączymy wyłącznik do pozycji (b) to będziemy rozładowywać kondensator. Teraz w obwodzie nie ma źródła SEM i prawo Kirchoffa dla obwodu przyjmuje postać

(6)

\( {U_{{R}}+U_{{C}}=0} \)

lub

(7)

\( {IR+\frac{Q}{C}=0} \)

Ponieważ \( I = dQ/dt \) więc

(8)

\( {\frac{\mathit{dQ}}{\mathit{dt}}R+\frac{Q}{C}=0} \)

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja \( Q(t) \) postaci

(9)

\( {Q=Q_{{0}}e^{{-t/RC}}} \)

Natomiast prąd w obwodzie obliczamy z zależności \( I = dQ/dt \)

(10)

\( {I=\frac{\mathit{dQ}}{\mathit{dt}}=-{\frac{Q_{{0}}}{RC}}e^{{-t/RC}}} \)

Zarówno ładunek jak i prąd maleją eksponencjalnie ze stałą czasową \( \tau=RC \).

Obwód RL

Analogicznie, jak w obwodzie \( RC \), opóźnienie w narastaniu i zanikaniu prądu obserwuje się w obwodzie \( RL \) przy włączaniu lub wyłączaniu źródła SEM.

Obwód {OPENAGHMATHJAX()}RL{OPENAGHMATHJAX}

Rysunek 4: Obwód \( RL \)

Gdyby w obwodzie znajdował się tylko opornik \( R \), to po ustawieniu wyłącznika w pozycji (a) prąd osiągnąłby natychmiast wartość \( \varepsilon /R \). Obecność indukcyjności \( L \) w obwodzie powoduje, że pojawia się dodatkowo SEM samoindukcji \( \varepsilon_{L} \), która zgodnie z regułą Lenza przeciwdziała wzrostowi prądu co oznacza, że jej zwrot jest przeciwny do \( \varepsilon \).

Zgodnie z prawem Kirchoffa

(11)

\( {\varepsilon =U_{{R}}-U_{{L}}} \)

lub

(12)

\( {\varepsilon=IR+L\frac{\mathit{dI}}{\mathit{dt}}} \)

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja \( I(t) \) postaci

(13)

\( {I=\frac{\varepsilon }{R}(1-e^{{-Rt/L}})} \)

Prąd w obwodzie narasta eksponencjalnie ze stałą czasową \( \tau=L/R \). Podobnie rośnie napięcie na oporniku \( R \)

(14)

\( {U_{{R}}=IR=\varepsilon (1-e^{{-Rt/L}})} \)

Natomiast napięcie na indukcyjności \( L \) maleje z tą samą stałą czasową

(15)

\( {U_{{L}}=-L\frac{\mathit{dI}}{\mathit{dt}}=-\mathit{\varepsilon e}^{{-Rt/L}}} \)

Jeżeli po ustaleniu się prądu w obwodzie, przestawimy przełącznik do pozycji (b) to wyłączmy źródło SEM i spowodujemy zanik prądu w obwodzie. Ponownie jednak indukcyjność \( L \) powoduje, że prąd nie zanika natychmiastowo.

Spadek prądu obliczamy ponownie na podstawie prawa Kirchoffa (równanie( 12 ) ) uwzględniając, że \( \varepsilon=0 \)

(16)

\( {IR+L\frac{\mathit{dI}}{\mathit{dt}}=0} \)

Rozwiązanie tego równania ma postać

(17)

\( {I=\frac{\varepsilon}{R}e^{{-Rt/L}}} \)

Obserwujemy zanik prądu, ponownie ze stałą czasową \( \tau=L/R. \)